布洛赫球：一个比特的全貌

一个比特的态是两个复数，也就是四个实数。去掉归一化，再去掉一个谁也看不见的全局相位，只剩两个。两个数刚好够在球面上点一个点，而球面上的每个点都对应一个真能制备的态。这颗球就是布洛赫球。

球面上的两个角

θ 是极角，从 0 到 π；φ 是方位角，从 0 到 2π。θ=0 时态是 $|0\rangle$，在北极；θ=π 时是 $|1\rangle$，在南极；θ=π/2、φ=0 时两个系数都是 $1/\sqrt2$，得到 $|+\rangle$，落在 +x 轴上。这就是 布洛赫球。

为什么是 θ/2？因为箭头转 α 角，系数里只出现 α/2：转满 360° 时箭头回到原处，态矢却多一个负号。半角把这件事编进了坐标。

拖一拖，再按一下 H，看箭头怎么从北极跳到赤道。

读球上的数

沿 z 轴测量，得到 0 的概率是

北极 z=1，得到 0 的概率是 100%；赤道 z=0，正好一半；南极 z=−1，一定是 1。所以「态有多偏向 0」就是箭头在 z 轴上有多高。想知道 x 方向的偏置，把球转过来看 x 轴上的投影就行。

$|+\rangle$ 与 $|-\rangle$ 都在赤道上，球面上相隔 180°，区别只在方位角，也就是相对相位。赤道上的点不是一种态，而是无穷多种等权重的叠加；它们测 z 基的结果完全一样，却会在后续的门里走出不同的路。

球面上正对的两点对应正交态，比如 $|0\rangle$ 与 $|1\rangle$、$|+\rangle$ 与 $|-\rangle$。拿其中一个态去另一个的方向上测，通过的概率严格为零。夹角决定它们有多好区分。

球面是纯态。球内的点长度小于 1，对应 密度矩阵 描述的混态，它的 纯度 不到 1。实验里的退相干，几何上就是把箭头从球面往球心推；推到球心，x、y、z 三个方向都没有偏置。