CHSH：2√2 是怎么算出来的

2 和 2√2 只差 0.828。CHSH 把这 0.828 变成一个能判决的差距：如果世界是局域的，某个组合的平均值不能超过 2；量子力学说它能到 2.828。四十多年来，实验一直站在量子这一边。

四个设置，一个组合

Alice 手里两个测量设置 A₀、A₁，Bob 手里两个 B₀、B₁。每轮实验双方各挑一个，各自得到 +1 或 −1。同一对设置重复很多轮，把两个结果的乘积取平均，记作 $E_{ij}$。CHSH 把它们拼成一个数：

四个 $E$ 各自落在 −1 到 1 之间，所以 S 最大能到 4。为什么偏偏这样加减？因为只有这个组合能让「每个值早就存在」这条假设露馅——下一小节的两行代数就是答案。

两行代数给出 2

局域隐变量只假设两件事：每个比特在测量前就带着确定的值；两边的设置选择互不影响。于是每一轮可以写成四个数 a₀、a₁、b₀、b₁，每个都是 +1 或 −1，实际测到的只是其中两个的乘积。把 S 按这四个数重排：

b₀、b₁ 都只取 ±1，所以 b₀+b₁ 与 b₀−b₁ 里必有一个是 0，另一个是 ±2。无论 a₀、a₁ 取什么，右边最多是 2，取绝对值就是 $|S|\le2$。

这一步没有用到任何量子力学，只用了「值早就存在」和「两边独立」。所以任何局域隐变量模型都必须服从这个界。

量子怎么到 2√2

取共享的 $|\Phi^+\rangle$，把四个方向放在同一平面里：A₀ 在 90°、A₁ 在 0°，B₀ 在 45°、B₁ 在 135°。对这个态，关联只依赖夹角，$E(\theta_A,\theta_B)=\cos(\theta_A-\theta_B)$。

四个夹角差依次是 $45^\circ$、$-45^\circ$、$-45^\circ$、$-135^\circ$。注意最后一个不是 45°：它的余弦是负的，但绝对值仍是 $1/\sqrt2$，所以每个 $|E|=1/\sqrt2$。符号三正一负，代进去：

$S=\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}-\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)=2\sqrt2\approx2.828$。

超出的 0.828 不是算错了，而是「值早就存在」这条假设在量子态里没有位置：结果在测量方向被选定的那一刻才被决定，之前没有可以拿来做代数的 a、b。

实验上要看到这个数，得让两端快速随机切换设置、探测效率足够高。2015 年起有几组实验同时堵住了局域性与探测两个漏洞；实际测到的 S 通常落在 2.3–2.7 之间，稳定越过 2，但因可见度与损耗低于理论最大 2√2。具体装置不在这里展开，你只要知道：统计上的违反是稳定的，不是某次偶然。