密度矩阵：当「不知道」变成物理

一个比特处在「一半概率 |0⟩、一半概率 |1⟩」的混合里；另一个比特处在 |+⟩。沿 z 轴测量，两者都是各一半，读数一模一样。换成沿 x 轴测量，一个仍然各半，另一个百分之百给 +。同样的 z 统计，不同的物理状态——密度矩阵就是为这件事准备的。

一个矩阵，两个数

它把「以概率 pᵢ 处于 |ψᵢ⟩」写进一个对象。三条性质：迹为 1（总概率），厄米（读数才是实数），半正定（概率不为负）。它给出的预测是一个数：对测量算符 M，结果是 $\operatorname{Tr}(\rho M)$。

纯态与混态用一个数分开：纯度 $\operatorname{Tr}(\rho^2)$。纯态等于 1，混态小于 1；单比特的下限是 1/2，对应 ρ=I/2。布洛赫球上，纯态在球面，混态在球内，球心就是 I/2。

部分迹：把不看的比特求和掉

只关心两个比特里的一个，就把另一个的自由度「求和掉」，这个操作叫部分迹：$\rho_A=\operatorname{Tr}_B\rho_{AB}$。Bell 态做完得到 I/2——单个比特没有纯态可写，关于它的信息都在关联里。

同一个矩阵，好几种来源

ρ 不记录它是怎么被造出来的。掷硬币选 |0⟩ 或 |1⟩ 得到 I/2；从 Bell 态里只看一半，也得到 I/2。任何只在这半个系统上做的测量，都分不出这两者。

这不是漏洞，而是 ρ 的定位：它回答「测什么会得到什么」，不回答「怎么造的」。也正因为如此，混态完全可以来自真实的无知（制备噪声），也可以来自纠缠；同一个 ρ 允许两种故事。想知道手上这一份究竟是哪一种，必须去看更大的系统，而不是盯着这半个。

叠加与混合在换基后怎么分家，第 03 篇的混态一节用 H 门做了完整对照；这里只留形式结论：ρ 相同，所有本地统计就相同。