可观测量：为什么必须是厄米矩阵

测量的结果是一个实数：屏幕上的 0 或 1，谱仪上的一个频率。可量子力学的算符一般由复数组成。要把「读数」写成矩阵，就得先解决一个矛盾：一个满是复数的矩阵，凭什么保证每次读出来都是实数？

厄米：让读数落在实轴上

答案是共轭对称：A=A†，这样的矩阵叫厄米矩阵。设 A|a⟩=a|a⟩，两边左乘 ⟨a|，得到

右边等于自己的共轭（因为 A=A†），左边是 a 乘一个正实数，于是 a=a*，本征值只能是实数。

顺带还得到第二条：不同本征值的本征向量彼此正交。这两条合起来，测量才有定义——结果只能落在本征值上，而一组正交本征向量正好当测量基。

测量就是挑一组本征向量

沿 z 测一个比特，选的是 Z 的本征向量 |0⟩ 与 |1⟩，本征值 +1 与 −1。得到某个结果的概率是投影的模平方，多次测量的平均是

泡利矩阵是最小的例子：X、Y、Z 都厄米又酉，本征值都是 ±1，本征向量两两正交，对应布洛赫球的三个轴。换一个测量基，就是换一组本征向量：测 X 基，等价于先做一次 H 再测 Z。

期望值要小心读。|+⟩ 上测 Z，每次只能得 +1 或 −1，期望却是 0。期望是平均，不是「最可能的读数」，更不是「每次都会得到的值」。方差同理：它衡量读数散得多开，不描述某一次偏离多少。

非厄米的矩阵为什么不行？它的本征值可以是复数，读数找不到对应的物理量；本征向量也未必正交，按它们展开的系数不能保证给出「求和为 1 的非负概率」。厄米不是数学家的洁癖，是「读数为实数、概率能归一」的最小要求。