不可克隆：量子态不能复印

纸上的字可以复印，硬盘里的文件可以复制粘贴，一个经典比特是 0 还是 1，抄一万份都不费劲。同样的事对量子比特做不到，而且原因不是复印机还不够好——是根本不存在这样一台机器。

先假设它存在

设这台复印机是一个酉操作，对任何输入态都成立：原态保留，旁边多出一份一模一样的。先喂 $\left|0\right\rangle$，得到两个 $\left|0\right\rangle$；再喂 $\left|1\right\rangle$，得到两个 $\left|1\right\rangle$。

现在喂一个叠加态 $(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle)/\sqrt2$。酉操作是线性的，它没有别的选择，只能照着系数把上面两个结果加起来：

而「克隆」要求的结果是两份完全相同的态，展开来是四项：

前者只有 $\left|00\right\rangle$ 和 $\left|11\right\rangle$，后者四项俱全，两者不相等。于是那台「对 $\left|0\right\rangle$ 和 $\left|1\right\rangle$ 都好用」的复印机，在叠加态上必然失手。这就是 不可克隆定理：两行线性性，结束。

和「不能测量」是两件事

测量难，是因为它会改变态，而且一次只给一个基下的一个结果。克隆不需要知道态是什么，它只想复制——定理连这个都不许。所以「先测出来，再照着做一个」不算克隆：测完原态已变，副本只是某一次结果的产物，原来的相对相位没被搬过去。

经典比特之所以能随便复制，是因为读它不改变它，读到的就是全部信息。量子比特能读出的信息被一个基限制住，剩下的相对相位读一次就没了。

工程上也绕不过去：不是相干时间不够长，也不是门不够准。只要演化是线性的酉操作，通用量子复印机就不存在。 这是定理，不是待攻克的技术指标。

定理还有一个用处。量子密钥分发 的安全性有一部分就压在这上面：窃听者想不留痕迹地拿走一份密钥，就得先复制未知态，而复制不成立；任何测量都会扰动态，在误码率上留下痕迹。BB84 能发现窃听，靠的正是这个——不是算力问题，是物理上做不到。

边界也要说清：不可克隆禁的是复制未知态。一个已知的 $\left|0\right\rangle$，想制备多少份都行，那叫制备，不叫克隆。