X/Y/Z：三个转轴

三个门都被说成「翻转」，可在球上看，它们翻的方向完全不同。搞清这一点，单比特门基本就不用背了。

三个矩阵，三根轴

X 交换 $|0\rangle$ 与 $|1\rangle$，在球上绕 x 轴转 180°。Z 不动 $|0\rangle$，给 $|1\rangle$ 添一个负号，绕 z 轴转 180°。Y 既交换比特又添相位，绕 y 轴转。三个都是 泡利矩阵，都厄米、都酉，所以都等于自己的逆：连按两次回到原处。

Y 是三者里唯一带虚数的，它的两个本征态落在赤道上、方向是 ±y。把三个门依次乘起来得到 $XYZ=iI$；那个 i 不是装饰，它正是三个门两两不对易的记账方式：换一个顺序乘，结果就换一个符号。

按 X、Z、Y，看箭头怎么动：有的把它翻到另一侧，有的让它待在原地。

改比特，还是改相位

X 改的是比特值：$|0\rangle$ 变 $|1\rangle$。Z 改的是 相位：$|0\rangle$ 不动，$|1\rangle$ 变号。对 $|+\rangle$，X 不动它，Z 把它送到 $|-\rangle$。

Z 还是一整族相位门的原型：S 与 T 分别是它的二分之一次方和四分之一次方，只改相位，不改比特值。

三个门同时还是三个方向上的测量算符：本征值只有 +1 与 −1，正好对应球上投影的正负。所谓「测 X」，就是把态投影到 X 的本征基上，再用这两个数记账。

$XZ\neq ZX$，两个门不对易。在单个比特上两者只差一个全局负号，测不出来；可一旦它们被夹进叠加，或者作为受控门使用，这个负号就变成相对相位，结果完全不同——比如在 H 与 H 之间插一个 Z，输出就从 $|0\rangle$ 换成 $|1\rangle$。同理，先测 X 再测 Z 与反过来，联合统计也不一样，因为它们没有共同的本征态。全局相位看不见，相对相位看得见，差别就在这里。