H 门：把确定变成等概率

一个门，把确定的 0 变成一半一半。看上去像抛硬币，可它偏偏能被第二个同样的门原样还原，抛硬币做不到这件事。

H 的矩阵

作用在两个基上：

测 $|+\rangle$，得到 0 和 1 的概率各一半。可它不是把 0 随机换成 0 或 1：作用之后态是确定的 $|+\rangle$，两个分支都在，符号都已经定好。这个门叫 H 门，它也是酉的。

另一种读法是换基：H 把 z 基换成 x 基。所以 H 作用之后去测 x 方向，结果是确定的 +1；不确定的只是你偏要去测 z 方向。H 还是它自己的逆，$H^\dagger=H=H^{-1}$，这一点后面会反复用到。

把 H 作用在 $|1\rangle$ 上得到 $|-\rangle$，测出来仍是一半一半。可 $|+\rangle$ 与 $|-\rangle$ 不是同一个态：它们只差第二个分支的一个负号，正是这个负号让后续的门给出完全不同的结果。等概率只是一个数字，相位才是信息。

按一下 H，箭头从北极转到 +x：长度没变，只是换了方向。

两次就回来

$\mathrm{H}^2=I$。连按两次 H，态精确回到 $|0\rangle$，不是「随机两次变得更随机」。这也是它和抛硬币最硬的区别：抛硬币没有逆操作。所谓「等概率」描述的是测量，态本身完全确定——这两件事很容易被一句话糊在一起。

真正让 H 有用的是符号。$|+\rangle$ 的两个分支同号，$|-\rangle$ 的两个分支反号。再作用一次 H，同号的两条路相加得回 $|0\rangle$，反号的两条路相消，结果落到 $|1\rangle$。相位在这里变成了可观测的差别，而不是一个可以随手丢掉的修饰。后面那些干涉类的算法，用的都是这一招。

也正因为如此，H 几乎总是线路的第一笔：它把初态 $|0\cdots0\rangle$ 摊成所有输入等权重的叠加，后面的门再按相位把想要的答案挑出来。