酉矩阵：为什么演化必须可逆

量子线路里的门都能倒着走，但「倒着走」不等于「再按一次同一个按钮」：每个门 $U$ 都有逆 $U^\dagger$ ，作用 $U^\dagger$ 才回到原处。H、X、CNOT 恰好满足 $U^\dagger=U$ ，按两次就能复原；S、T、Ry 不行，它们的逆是 S†、T†、Ry(−θ)。这不是设计者的偏好，而是一条硬要求。它来自一个更朴素的条件——概率加起来必须始终是 1。

归一化不许变

一个态的长度必须是 1，因为各振幅模平方之和就是概率总和。门作用之后总概率还是 1，长度就不能变。更强的条件是保内积：对任意两个态，

\langle U\psi\,|\,U\phi\rangle=\langle\psi\,|\,\phi\rangle

写成矩阵就是 $U^\dagger U=I$ 。满足这条的矩阵叫酉矩阵，这样的演化叫酉演化。保长度只是态与自身的内积这一特例；保内积还把两个不同态之间的夹角和相对相位一起保住了。

在布洛赫球上，酉门就是球面上的旋转。

酉门就是旋转

拖动视角，再按 X、H、S：箭头始终贴着球面走，长度没有变过。

两个门的矩阵

\mathrm{H}=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}, \qquad X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

保内积还有一个听起来更硬的推论：酉门从不把两个不同的输入送到同一个输出。真要是送进去了，它们的内积就会从 0 变成 1，条件当场被破坏。所以酉门既不能把态「抹掉」，也不能复制任意未知量子态（基态可以被 CNOT 复制，那不算违反不可克隆），只能换一种写法保存下来。矩阵只差一个全局相位 $e^{i\alpha}$ 的两个门，在物理上就是同一个操作：那个相位乘在整个态上，谁也看不见。

测量是唯一的例外。它把叠加压成一个结果，你拿不到原来的系数，也就没有逆操作。在理想酉线路里，信息真正被丢掉的地方只有测量；真实设备上环境耦合也会让约化态丢信息，那不是测量，而是退相干。这也顺带解释了为什么不能「删掉」一个未知量子态：删除要把两个不同的态映到同一个态，而这会破坏内积，不可能是酉的。复制同样不行。

可逆的意思是，任何一步都能再作用一次撤销掉，测量也一样。

只有酉演化可逆。测量不是酉的，测完之后原来的叠加已经没了，再作用什么门都补不回来。

混淆点在于把线路里的门和测量当成同一类步骤：门是旋转，测量是投影，后者会把维数降下来。

一句话结论

酉矩阵就是「保内积的矩阵」，归一化、两个态之间的夹角、相对相位都归它管。它因此可逆，也因此在原则上不丢信息。线路里唯一的非酉步骤是测量——那里才是信息真正消失的地方。