相对相位：为什么 HZH=X

同一个态，整体乘上一个复数，测量结果一点不变；只改两个系数之间的相对相位，干涉条纹却可能整个翻过来。相位常被当成公式里的装饰，可量子门真正动手改的，往往正是这点看不见的差别。

Z 只做一件事：给 |1⟩ 加符号

从最简单的态开始。$H|0\rangle=|+\rangle$，两个系数都是 $1/\sqrt2$，符号相同。接一个 Z 门，它只给 $|1\rangle$ 的系数乘 $-1$，于是 $Z|+\rangle=|-\rangle$。柱子的高度没变，变的只是第二根柱子顶上指针的方向。

如果就在这一步测量，Z 做了什么完全看不出来：两个结果的概率还是各一半。差别要等到下一次干涉才变成概率差。

演示一打开就停在 H 之后的 $|+\rangle$：两根柱子等高、指针同向。按 Z，高度不动，$|1\rangle$ 的指针转半圈。

最后这次 H 才是关键：没有 Z 时它会回到 $|0\rangle$，有了 Z，同一段线路把结果换成了 $|1\rangle$。

两行代数，两种相位

它对两个基态的作用与 X 完全一样，因此 $HZH=X$。这里没有「差一个全局相位」的余地：H 是实矩阵且 $H^\dagger=H$，Z 的 $-1$ 只落在 $|1\rangle$ 上，不会被整体提出来。

全局相位是每个概率幅都乘同一个 $e^{i\theta}$，它可以从式子里直接划掉；相对相位只改其中一部分振幅，划不掉。S 门给 $|1\rangle$ 乘 $i$，也就是 $e^{i\pi/2}$；T 门乘 $e^{i\pi/4}$，两个 T 正好是一个 S。它们都不动 $|0\rangle$、$|1\rangle$ 的测量概率，却能改变 $|+\rangle$ 下一步变成什么。

所以「相位看不见」只对单个振幅成立。把两个振幅放在一起做加减，相对相位立刻变成概率上的差别——干涉就是把相对相位变成概率的地方。