内积：概率为什么是模平方

概率为什么是模平方，而不是模？一个振幅大小为 0.5 的分量，为什么贡献 0.25 而不是 0.5？答案不在归一化里，在几何里：概率量的是投影，而投影要用内积算。

一个态在另一个态上的影子

内积 $\langle\phi|\psi\rangle$ 是一个复数。它的模告诉你两个态重叠多少：完全重合时是 1，正交时是 0。它的辐角告诉你两个态差多少相位——这一点平时看不见，只有两个振幅相加时才显形。

三条立刻能用的结论：归一化是 $\langle\psi|\psi\rangle=1$；正交 $\langle\phi|\psi\rangle=0$ 意味着两个态完全可区分，在其中一个上测另一个，通过率为零；内积的模永远不超过 1，概率因此不会溢出。

正交的图像最好记：布洛赫球上相隔 180° 的两点。|0⟩ 与 |1⟩ 是一对，|+⟩ 与 |−⟩ 是另一对。球面上夹角 θ 的两个态，投影概率按 (1+cosθ)/2 走，θ=180° 时恰好归零。

玻恩规则就是投影

沿 z 测量，等于把态投影到 |0⟩ 与 |1⟩ 两个方向上，再取投影长度的平方：

如果 ψ 写成 α|0⟩+β|1⟩，这个内积就是 α，概率是 |α|²。换一组基，公式不变，只是投影方向换了。

球上的高度就是投影：z 分量换算成概率，就是 $(1+z)/2$。同一个高度上的所有态，测 z 的统计一模一样，它们的差别只在方位角，也就是相对相位——那要靠下一次干涉才读得到。这也是概率幅与概率的分工：振幅带相位，概率只留模平方。